基础数学示例

$y^{3} - 7 y - 6$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $y^{3} - 7 y - 6$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

解题步骤 1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{3} - 7 \cdot - 1 - 6$

解题步骤 1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 - 7 \cdot - 1 - 6$

解题步骤 1.3.3

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 + 7 - 6$

解题步骤 1.3.4

将 $- 1$ 和 $7$ 相加。

$6 - 6$

解题步骤 1.3.5

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $y + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{y^{3} - 7 y - 6}{y + 1}$

解题步骤 1.5

用 $y^{3} - 7 y - 6$ 除以 $y + 1$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y$

$1$

$y^{3}$

$0 y^{2}$

$7 y$

$6$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $y^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

					$y^{2}$
	$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			+	$y^{3}$	+	$y^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $y^{3} + y^{2}$ 中的所有符号

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$y^{2}$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- y^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					-	$y^{2}$	-	$y$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- y^{2} - y$ 中的所有符号

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$y^{2}$	-	$y$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 6 y$ 除以除数中的最高阶项 $y$ 。

				$y^{2}$	-	$y$	-	$6$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$y^{2}$	-	$y$	-	$6$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$
							-	$6 y$	-	$6$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 y - 6$ 中的所有符号

				$y^{2}$	-	$y$	-	$6$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$
							+	$6 y$	+	$6$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$y^{2}$	-	$y$	-	$6$
$y$	+	$1$		$y^{3}$	+	$0 y^{2}$	-	$7 y$	-	$6$
			-	$y^{3}$	-	$y^{2}$
					-	$y^{2}$	-	$7 y$
					+	$y^{2}$	+	$y$
							-	$6 y$	-	$6$
							+	$6 y$	+	$6$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$y^{2} - y - 6$

解题步骤 1.6

将 $y^{3} - 7 y - 6$ 书写为因数的集合。

$(y + 1) (y^{2} - y - 6)$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $y^{2} - y - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

使用 AC 法来对 $y^{2} - y - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(y + 1) ((y - 3) (y + 2))$

解题步骤 2.2

去掉多余的括号。

$(y + 1) (y - 3) (y + 2)$

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